在矩阵代数中，矩阵的逆的概念是从一般的数的乘法中受到启发进而定义出矩阵的单位元以及讨论矩阵逆元的存在性的问题，一个矩阵的逆是指复合原矩阵后可以得到单位矩阵的矩阵，一般的长方阵可以考虑左逆和右逆（参见Moore-Penrose 广义逆），而对于方阵来说左逆和右逆若存在一定相等。
目录
1 单位矩阵
2 逆的定义
3 性质
4 逆的求法
5 上下节
6 参考资料
单位矩阵[]
设
A
∈
P
n
×
n
{\displaystyle A \in \mathbb{P}^{n \times n}}
，显然，如果设
E
n
{\displaystyle E_{n}}
是只有主对角线上的元素是
1
{\displaystyle 1}
，其余元素均为
0
{\displaystyle 0}
的
n
{\displaystyle n}
阶方阵，即
E
n
=
(
1
0
⋯
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
1
)
{\displaystyle E_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}}
，那么
A
E
n
=
E
n
A
=
A
{\displaystyle AE_n = E_nA = A}
因此，我们找到了
n
{\displaystyle n}
阶方阵乘法的单位元，也称为单位矩阵，有时也会记为
E
,
I
,
I
n
.
{\displaystyle E, I, I_n.}
逆的定义[]
设
A
∈
P
n
×
n
{\displaystyle A \in \mathbb{P}^{n \times n}}
，如果存在一矩阵
B
∈
P
n
×
n
{\displaystyle B \in \mathbb{P}^{n \times n}}
，使得
A
B
=
B
A
=
E
n
{\displaystyle AB = BA = E_n}
，就称矩阵
A
{\displaystyle A}
是可逆的（inversible），并记
B
=
A
−
1
{\displaystyle B = A^{-1}}
。
显然，零矩阵
O
{\displaystyle O}
不是可逆矩阵，因为
∀
A
∈
P
n
×
n
,
A
O
=
O
.
{\displaystyle \forall A \in \mathbb{P}^{n \times n}, AO = O.}
如果矩阵
A
{\displaystyle A}
有逆元，则它的逆元是唯一的。
性质[]
若
A
{\displaystyle A}
可逆，则
A
−
1
{\displaystyle A^{-1}}
也可逆，且
(
A
−
1
)
−
1
=
A
;
{\displaystyle (A^{-1})^{-1} = A;}
若
A
,
B
{\displaystyle A, B}
可逆，则
A
B
{\displaystyle AB}
也可逆，且
(
A
B
)
−
1
=
B
−
1
A
−
1
;
{\displaystyle (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1};}
若
A
{\displaystyle A}
可逆，则
A
T
,
A
H
{\displaystyle A^\text{T}, A^\text{H}}
也可逆，且
(
A
T
)
−
1
=
(
A
−
1
)
T
,
(
A
H
)
−
1
=
(
A
−
1
)
H
;
{\displaystyle (A^\text{T})^{-1} = (A^{-1})^\text{T}, (A^\text{H})^{-1} = (A^{-1})^\text{H};}
若
A
{\displaystyle A}
可逆，则
A
B
=
A
C
⟺
B
=
C
.
{\displaystyle AB = AC \iff B=C.}
逆的求法[]
求一个可逆矩阵的逆（或判断一个矩阵是否可逆）是矩阵代数中的一个重要问题，其中最有效的算法是 Gauss 消元法，其涉及到初等变换的知识。
欲求一个方阵
A
{\displaystyle A}
的逆阵，构造分块矩阵
(
A
E
)
{\displaystyle (A ~ E)}
，然后经过初等行变换化为
(
E
B
)
{\displaystyle (E ~ B)}
，则
A
−
1
=
B
.
{\displaystyle A^{-1} = B.}
当然也可以使用初等列变换。
上下节[]
上一节：矩阵的转置
下一节：对角矩阵
参考资料郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
线性代数（学科代码：1102110，GB/T 13745—2009）
矩阵
矩阵的转置 ▪ 矩阵的逆 ▪ 对角矩阵 ▪ 初等矩阵 ▪ 等价标准型 ▪ 分块矩阵 ▪ 伴随矩阵 ▪ 酉矩阵（正交矩阵） ▪ Hermite 矩阵（实对称矩阵） ▪ 正规矩阵（实正规矩阵） ▪ 幂等矩阵 ▪ 幂零矩阵 ▪ 对合矩阵 ▪ 秩一矩阵 >>另参见数值分析<<
行列式
Vandermonde 行列式 ▪ 行列式的展开 ▪ Laplace 展开 ▪ 三角行列式 ▪ 三对角行列式 ▪ 行列式的计算 ▪ 析因子法
向量组理论
向量组 ▪ 替换定理 ▪ 矩阵的秩 ▪ 矩阵的迹
线性方程组
Cramer 法则 ▪ 基础解系（解的结构）>>另参见数值分析<<
线性空间和内积空间
线性空间的维数和基底 ▪ 线性空间的坐标变换 ▪ 线性空间的同构 ▪ 线性子空间 ▪ 线性空间的直和 ▪ 维数公式 ▪ 线性空间上的线性函数 ▪ 双线性函数 ▪ 对称双线性度量空间 ▪ 正交补空间 ▪ 内积 ▪ Euclid 空间 ▪ 向量到子空间的距离 ▪ 最小二乘法 ▪ Gram-Schmidt 正交化
线性变换
线性映射 ▪ 线性变换 ▪ 线性变换的运算 ▪ 自同构变换 ▪ 线性变换的特征值和特征向量 ▪ 特征子空间 ▪ 特征多项式 ▪ 零化多项式 ▪ 最小多项式 ▪ 关联矩阵的特征根 ▪ 线性空间的直和分解 ▪ 幂等线性变换 ▪ 正交变换 ▪ 正定矩阵 ▪ 半正定矩阵
矩阵标准型
相似标准型 ▪ λ-矩阵 ▪ 数字矩阵的特征矩阵 ▪ Frobenius 标准形 ▪ Jacobson 标准形 ▪ Jordan 标准形
二次型理论
二次型（实二次型） ▪ 二次型的化简 ▪ 正定二次型 ▪ 一对实二次型同时化简
所在位置：数学（110）→ 代数学（11021）→ 线性代数（1102110）